описана окружність
- властивості
- для трикутника
- радіус
- Положення центру описаного кола
- Рівняння описаного кола
- для чотирикутника
- для багатокутника
- Див. також
- література
описана окружність багатокутника - окружність , Що містить всі вершини багатокутника. центром є крапка (Прийнято позначати 
) перетину серединних перпендикулярів до сторін багатокутника.
властивості
- Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить в точці перетину серединних перпендикулярів до його сторонам. Як наслідок: якщо поруч з n-кутником описана окружність, то все серединні перпендикуляри до його сторонам перетинаються в одній точці (центрі кола).
- близько будь-якого правильного багатокутника можна описати коло, і притому тільки одну.
для трикутника
- У остроугольного трикутника центр описаного кола лежить всередині, у тупоугольного - поза трикутником, у прямокутного - на середині гіпотенузи .
гострокутний
прямокутний
Позначаємо буквою Про точку перетину серединних перпендикулярів до його сторонам і проведемо відрізки ОА, ОВ і ОС. Так як точка Про рівновіддалена від вершин трикутника АВС, то ОА = OB = ОС. Тому коло з центром О радіуса ОА проходить через всі три вершини трикутника і, отже, є описаного навколо трикутника ABC.
- 3 з 4 кіл, описаних щодо серединних трикутників (утворених середніми лініями трикутника ), Перетинаються в одній точці всередині трикутника. Ця точка і є центр описаного кола основного трикутника.
- Центр описаного навколо трикутника кола служить ортоцентром трикутника з вершинами в серединах сторін даного трикутника.
- Відстань від вершини трикутника до ортоцентра вдвічі більше, ніж відстань від центру описаного кола до протилежного боку.
радіус
радіус описаного кола може бути знайдений за формулами
де:
- сторони трикутника, 
- кут, що лежить проти сторони 
, 
- площа трикутника. 
- напівпериметр трикутника.
Положення центру описаного кола
нехай 
радіус-вектори вершин трикутника, 
- радіус-вектор центра описаного кола. тоді
де
При цьому - довжини сторін трикутника, протилежних вершин 
.
Рівняння описаного кола
нехай 
координати вершин трикутника в деякій декартовій системі координат на площині, 
- координати центру описаного кола. тоді
для точок 
, Що лежать всередині кола, визначник від'ємний, а для точок поза нею - позитивний.
для чотирикутника
Вписаний простий (без самоперетинів) чотирикутник необхідно є опуклим .
близько опуклого чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180 ° (π радіан).
Можна описати коло близько:
У чотирикутника, вписаного в коло, твір довжин діагоналей дорівнює сумі творів довжин пар протилежних сторін: [1]
| AC | · | BD | = | AB | · | CD | + | BC | · | AD |
для багатокутника
- Якщо з відрізків скласти багатокутник, то його площа буде максимальна, коли він вписаний.
- Якщо точка рівновіддалена від вершин багатокутника, то вона проектується в центр кола, описаного навколо цього багатокутника.
У сферичному трикутнику
Описана окружність для сферичного трикутника - це коло, що містить всі його вершини.
- Якщо A, B, C - кути сферичного трикутника, P - їх полусумма, то тангенс радіусу [2] описаного кола дорівнюватиме [3] : 78,83
- Описана окружність належить сфері. Радіус, проведений з центру сфери через центр описаного кола перетне сферу в точці перетину серединних перпендикулярів (великих кіл сфери, перпендикулярних сторонам в їх середині) до сторін сферичного трикутника [3] : 21-22.
Див. також
Примітки
- ↑ теорема Птолемея
- ↑ Тут радіус кола вимірюється по сфері, тобто є градусну міру дуги великого кола, що з'єднує точку перетину радіуса сфери, проведеного з центру сфери через центр окружності, зі сферою і вершину трикутника.
- ↑ 1 2 Степанов Н. Н. Сферична тригонометрія. - М.-Л .: ОГИЗ , 1948. - 154 с.
література
- Елементарна геометрія / Кисельов А.П .. - М.: Просвітництво , 1980.
- Факультативний курс з математики. 7-9 / Упоряд. І. Л. Нікольська. - М.: Просвітництво , 1991. - С. 87. - 383 с. - ISBN 5-09-001287-3
- Понарін Я. П. Елементарна геометрія. У 2 тт. - М.: МЦНМО , 2004. - С. 53-54. - ISBN 5-94057-170-0