1. властивості
2. для трикутника
3. радіус
4. Положення центру описаного кола
5. Рівняння описаного кола
6. для чотирикутника
7. для багатокутника
8. Див. також
9. література

описана окружність багатокутника - окружність , Що містить всі вершини багатокутника. центром є крапка (Прийнято позначати ) перетину серединних перпендикулярів до сторін багатокутника.

властивості

• Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить в точці перетину серединних перпендикулярів до його сторонам. Як наслідок: якщо поруч з n-кутником описана окружність, то все серединні перпендикуляри до його сторонам перетинаються в одній точці (центрі кола).
• близько будь-якого правильного багатокутника можна описати коло, і притому тільки одну.

для трикутника

• У остроугольного трикутника центр описаного кола лежить всередині, у тупоугольного - поза трикутником, у прямокутного - на середині гіпотенузи .

• гострокутний

• прямокутний

Позначаємо буквою Про точку перетину серединних перпендикулярів до його сторонам і проведемо відрізки ОА, ОВ і ОС. Так як точка Про рівновіддалена від вершин трикутника АВС, то ОА = OB = ОС. Тому коло з центром О радіуса ОА проходить через всі три вершини трикутника і, отже, є описаного навколо трикутника ABC.

• 3 з 4 кіл, описаних щодо серединних трикутників (утворених середніми лініями трикутника ), Перетинаються в одній точці всередині трикутника. Ця точка і є центр описаного кола основного трикутника.
• Центр описаного навколо трикутника кола служить ортоцентром трикутника з вершинами в серединах сторін даного трикутника.
• Відстань від вершини трикутника до ортоцентра вдвічі більше, ніж відстань від центру описаного кола до протилежного боку.

радіус

радіус описаного кола може бути знайдений за формулами

де:

- сторони трикутника,
- кут, що лежить проти сторони ,
- площа трикутника. - напівпериметр трикутника.

Положення центру описаного кола

нехай радіус-вектори вершин трикутника, - радіус-вектор центра описаного кола. тоді

де

При цьому - довжини сторін трикутника, протилежних вершин .

Рівняння описаного кола

нехай координати вершин трикутника в деякій декартовій системі координат на площині, - координати центру описаного кола. тоді

для точок , Що лежать всередині кола, визначник від'ємний, а для точок поза нею - позитивний.

для чотирикутника

Вписаний простий (без самоперетинів) чотирикутник необхідно є опуклим .

близько опуклого чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180 ° (π радіан).

Можна описати коло близько:

У чотирикутника, вписаного в коло, твір довжин діагоналей дорівнює сумі творів довжин пар протилежних сторін: [1]

| AC | · | BD | = | AB | · | CD | + | BC | · | AD |

для багатокутника

• Якщо з відрізків скласти багатокутник, то його площа буде максимальна, коли він вписаний.

• Якщо точка рівновіддалена від вершин багатокутника, то вона проектується в центр кола, описаного навколо цього багатокутника.

У сферичному трикутнику

Описана окружність для сферичного трикутника - це коло, що містить всі його вершини.

• Якщо A, B, C - кути сферичного трикутника, P - їх полусумма, то тангенс радіусу [2] описаного кола дорівнюватиме [3] : 78,83

• Описана окружність належить сфері. Радіус, проведений з центру сфери через центр описаного кола перетне сферу в точці перетину серединних перпендикулярів (великих кіл сфери, перпендикулярних сторонам в їх середині) до сторін сферичного трикутника [3] : 21-22.

Див. також

Примітки

1. ↑ теорема Птолемея
2. ↑ Тут радіус кола вимірюється по сфері, тобто є градусну міру дуги великого кола, що з'єднує точку перетину радіуса сфери, проведеного з центру сфери через центр окружності, зі сферою і вершину трикутника.
3. ↑ 1 2 Степанов Н. Н. Сферична тригонометрія. - М.-Л .: ОГИЗ , 1948. - 154 с.

література

• Елементарна геометрія / Кисельов А.П .. - М.: Просвітництво , 1980.
• Факультативний курс з математики. 7-9 / Упоряд. І. Л. Нікольська. - М.: Просвітництво , 1991. - С. 87. - 383 с. - ISBN 5-09-001287-3
• Понарін Я. П. Елементарна геометрія. У 2 тт. - М.: МЦНМО , 2004. - С. 53-54. - ISBN 5-94057-170-0